miércoles, 18 de enero de 2012


PROBLEMARIO    DE    CÁLCULO    DIFERENCIAL


UNIDAD 1:  FUNCIONES y LÍMITES

1.- Graficar las siguientes funciones y relacionar ambas columnas.






















2.- Determinar el dominio de definición de cada una de las funciones siguientes:
                                                                                         Resps.














3.- Dada   f (x) = x2 - 4x + 6,   hallar:

a) f (0) ;                       b) f (3) ;                       c) f (-2) ;                     d) f ( x + 1) Indicar las operaciones:

Resps.  a) f (0) = 6                   b) f (3) = 3                   c) f (-2) = 18             d) f (x+1) = x2 - 2x + 3
4.- Hallar   f { f [ f ( x ) ] }    


Resps.   =  x

5.- Determinar los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:
                                                                                               Resps.

                      
6.- Calcular los siguientes límites:          
                                                                    Resps.                                                                                            

UNIDAD II :   LA DERIVADA y SUS INTERPRETACIONES

7.- Dadas las siguientes funciones, calcular   a) Dx ,   b) Dy ,   c) Dy/Dx . Graficar los incisos b y c  
                                                                                                               
                                                                                                         Resps.
a)  y = 2x - 3.              Si  x  pasa  de 3.3 a  3.5                                 a) 0.2              b)  0.4             c)  2

b)  y = x2 – 4.               Si  x  pasa  de 1 a  3                                      a)  2                 b)  8                c)  4

c)  y = 1 - x2                Si  x  pasa  de -1 a  2                                     a)  -3                b)  3                c) -1

8.- Mediante la regla de los cuatro pasos hallar la derivada de:
                                                                                                          Resps.



DERIVADA DE FUNCIONES  ALGEBRAICAS  y  TRASCENDENTES

A.- Usando fórmulas de derivación, hallar la derivada de las siguientes funciones algebraicas, indicando todos los pasos.                                                                 Resps.


B.- Usando fórmulas de derivación, hallar la derivada de las siguientes  funciones trascendentes, indicando todos los pasos.                                                                 Resps.
 




































C.- Derivada de  funciones implícitas,  calcular la  y’. Indicando todas las operaciones.

                                                                                                                         Resps.
       











D.- Derivadas de orden superior, calcular las derivadas sucesivas. Indicar todas las operaciones.
                                                                                                                    Resps.

UNIDAD lll:   APLICACIONES DE LA PRIMERA DERIVADA

1.-   Determinar las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal a las curvas. Gráfica inciso a.
             
                                                                                                     Resps.
a )  y = -3x2 + 2                 EN EL PUNTO (1,-1).                    T:  6x + y - 5  = 0  ;         N:   x -  6y  -  7 = 0

b )  y = x3 - 2x2 + 4            EN EL PUNTO (2,4).                     T:  4x - y -  4  = 0  ;         N:   x + 4y - 18 = 0

c )  x2 + y2 = 8                  EN EL PUNTO (2,2).                     T:   x + y - 4 = 0  ;          N:  x - y = 0

2.- Determinar las longitudes de la tangente, normal, subtangente y subnormal de las curvas. Gráfica inciso a.             
                                                                                                     Resps
a )  x2 = 6y                                   EN EL PUNTO  (6,6).                     LST.= 3u.   LSN.=12 u.   LT.= 3 u.      LN.= 6  u. 
b )  x2 + 3xy + y2 = 5          EN EL PUNTO  (1,1).                     LST.= LSN.= 1 u.             LT.= LN.=  u.

3.-  Calcular el ángulo de intersección de las siguientes curvas. Gráfica inciso a    (considerar el ángulo que forman las tangentes dirigidas hacia arriba).            
                                                                                                    Resps.
a)   f ( x )  = x2 - 2x + 3
               g ( x ) = x + 3                                                                          q = 71O 33’ 54’’
                                                                                                                 q = 30O 57’ 49’’
b)   x2 - 4x + y2 = 0
 x2 + y2  = 8                  EN EL PUNTO  (2,2)                            q = 135O

c)   y2 = x + 1
             x2 + y2 = 13                  EN EL PUNTO donde  y = - 2            q = 109O 39’ 14’’


4.- Calcular  la velocidad (m/s) y la aceleración (m/s2) de un cuerpo que se desplaza  sobre las trayectorias:


5.- Calcular su posición (S),  la velocidad y  la aceleración de una partícula (en  mts), en el instante en que
     t = 2 seg. si su trayectoria esta dada por las funciones:

a) S ( t ) =  t3 -  5t2 + 3t                             Resps.              S = -  6 m.      V t = - 5 m/s.       a t =   2 m/s2
                                     
b)  S ( t ) =  t3 -  6t2                                                              S = -16 m.      V t = -12 m/s.      a t =   0 m/s2

6.- Un objeto es lanzado verticalmente hacia arriba, con una velocidad inicial de 60 m/s.  Según la ley
S = - 2t2 + 16t   calcular :

a) Altura maxima que alcanza el objeto                  S max = 32 m.
b) Altura, Velocidad y aceleracion a los 2 seg.        S (2)  = 24 m.   V(2) = 8 m/s.­          a(2) = -4 m/s2 ¯
c) Tiempo total en llegar al suelo                                T total = 8 seg.
d) Velocidad un instante antes de chocar contra el suelo            V(7) = -12 m/s. ¯

UNIDAD IV:   MÁXIMOS Y MÍNIMOS

6.- Determinar los máximos y mínimos de las siguientes funciones. Aplicando el criterio de la primera derivada.  hacer grafica inciso b.

a) f (x) = x2 + 4x + 6                                             Min. Rel. (-2,2)               
b)      y = 1+ 3x - x3                                               Max. Rel. (1,3)               Min. Rel. (-1,-1)

7.- Hallar los máximos y mínimos, así como los puntos de inflexión de las curvas siguientes. Aplicando el criterio de la segunda derivada. hacer graficas.                                            

a)  y = x3 + 3x2 - 1                                                 Max ( -2,3 ) ;    Min ( 0,-1 )  ;    Pi ( -1,1 )
b)  f (x) = x3 - 6x2 + 9x - 8                                    Max ( 1,-4 ) ;    Min (3,-8 )  ;     Pi (2,-6 )

PROBLEMAS DE APLICACIÓN   ( MÁXIMOS Y MÍNIMOS )

8.- Hallar dos números positivos cuya suma sea 20 y:
a)  La suma de sus cuadrados sea mínima.
b)  El producto del cuadrado de uno de  ellos por el cubo de otro sea máximo.       
Resps. a) 10 y10      b) 12 y 8
9.- Calcular la longitud de los lados de un terreno rectangular de área máxima, cuyo perímetro es de 120 m.                                                                                                                       Resps.  30 m. por lado
10.- Se desea cercar un lote rectangular de 3,200 m2 ubicado con uno de sus lados a la orilla de un rió, si no se necesita cercar el lado junto al rió. Calcular las dimensiones que deberá tener para ocupar la menor cantidad de cerca.                                                                        Resps.  x = 80 m  y = 40 m

11.- Un granjero cuenta con 100 m. de malla para construir 2 corrales adyacentes iguales ¿Calcular el área máxima posible?                                                                                Resps.  x = 12.5 m  y = 16.6 m

12.- En un recorte de cartulina de 20 x 20 cm. Determinar las dimensiones de la cajita, que debe almacenar el máximo volumen posible.                                              Resps.  h = 2 cm.    y    b = 8 cm.

13.- Determinar las dimensiones que debe tener un rectángulo limitado por el eje “x”  para que su área sea máxima, de la parábola siguiente   y = 12 - x2                      Resps. b = 4 u   x = 2 u    y = 8 u   AMAX. = 32 u2

14.- Determinar las dimensiones y el Área máxima del rectángulo inscrito en el circulo de 3 cm. de radio.                                                                                                                         Resps.  AMAX. = 18 u2

15.- Calcular el  volumen máximo  del cilindro circular recto que se puede inscribir en un cono de 25 cm. de altura y 10 cm. de  radio  en  la  base, de manera que los ejes del cilindro y del cono coincidan.                                                                                                      Resps.  ,    y   V = 1,163.55 cm3

16.- Se desea construir una lata cilíndrica de capacidad de ½ litro de manera que se utilice la menor superficie de lámina.
                                                                                      

BOSQUEJO   HISTÓRICO


            Gottfried-Wilhelm Barón Von Leibniz fue un genio universal, nacido el 21 de Junio de 1646 en Leipzig, Alemania. Comparte con Isaac Newton nacido en 1642, el crédito del descubrimiento del Cálculo. La cuestión de la prioridad ocasiono interminables controversias entre los seguidores de estos dos grandes hombres, uno ingles y el otro alemán. La historia ha dictaminado que Newton fue el primero en concebir las principales ideas (1665 - 66) pero que Leibniz las descubrió independientemente durante los años (1673 - 76). A pesar  de su grandeza Leibniz no recibió los honores que se atribuyeron a Newton.

            Leibniz Inventó un nuevo método matemático que publico en 1684 bajo el título: “Un método nuevo para máximos, mínimos y tangentes”. Esta publicación desató la más famoso controversia en cuanto a la prioridad de la creación de una obra científica, puesto que Newton, si bien no lo había manifestado públicamente, era ya poseedor del cálculo. El Cálculo se desarrollo con mucha mayor rapidez en el Continente Europeo. 

            Leibniz fue quizá el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él debemos los nombres del Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, así como los símbolos estándar .
            Arquímides que parece haber tenido una noción clara de la idea que comprende el cálculo. Está idea es la teoría de Limites.

COMENTARIOS


            En muchos casos el alumno, llega a derivar dominando el algoritmo de la operación correspondiente, pero sin saber o recordar los conceptos básicos de función, límite o derivada. De ahí que se me permita sugerir la completa atención cuando el maestro exponga estos conceptos y siempre que sea posible, consultando otros textos sobre la materia para entender con detenimiento la forma en que el profesor desarrolla estos temas.