INTRODUCCION:
Actualmente la teoría del cálculo diferencial se desarrolla a partir de un concepto muy sencillo llamado función, del cual se empieza haciendo un análisis de su estructura, se continua con la derivada de una función, para finalmente estudiar las aplicaciones geométricas y físicas.
Definición de Función
Una función es una correspondencia entre dos conjuntos definidos, de tal manera que a cada elemento del primer conjunto llamado dominio, le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto llamado contra dominio o imagen. Para ilustrar las características respecto a la definición, se utilizan los diagramas sagitales.
Característica 1:
Dominio contra dominio
U
Característica 2:
I
Característica 3 :
O
E
S
Contra característica es:
¿Qué tipo de expresión algebraica nos define a una función?
Toda ecuación algebraica bien definida que cumpla con las características anteriores de la definición, se convertirá en función.
Ejemplos:
1.- La ecuación lineal y = x + 1 nos representará a una: FUNCIÓN
x = variable independiente
y = variable dependiente
a) Tabulación b) Diagrama Sagital c) Gráfica
2 3
0 x
2) La ecuación cuadrática y = x2 nos representará a una: FUNCIÓN
a)tabulación b) Diagrama c) Gráfica
-1 1 -2 y = x2
0 0
3) La ecuación lineal y = 4 nos representará a una: FUNCIÓN CONSTANTE
Porque a cualquier valor de x, y permanecerá siempre constante.
x y
+ ¥ 0 x
NOTACIÓN:
“ Para afirmar y al mismo tiempo diferenciar que una ecuación algebraica es una función ”, se utiliza el siguiente símbolo: y = f (x) que se lee: “y” es la función de “x”.
Ejemplos:
Así se tiene que la ecuación y = x + 1, es la función f (x) = x + 1 \ y = f (x)
La ecuación y = x2, es la función g (x) = x2 \ y = g (x)
La ecuación y = x3 - 3x2 + 2x – 7, es la función h (x) = x3 - 3x2 + 2x - 7 \ y = h (x)
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES
A) Clasificación respecto a la definición
1.- Funciones Inyectivas
Se les nombra así porque en la correspondencia sucede que a cada elemento del primer conjunto, le corresponderá uno y solo un elemento del segundo conjunto, es decir , la relación de correspondencia será ( 1 : 1)
Ejemplo:
La ecuación lineal y = 2x -1, representa la característica de una función: Inyectiva
a) tabulación b) Diagrama Sagital c) Gráfica
Función Inyectiva
( 1 : 1 )
NOTA: Generalmente las ecuaciones lineales o de primer grado se comportan como funciones inyectivas.
2.- Funciones Suprayectivas o Superyectivas
Se les clasifica así porque en la correspondencia del dominio y el contra dominio, sucede que a dos elementos del primer conjunto, les corresponde uno y solo uno del contra dominio. Es decir, la relación de correspondencia es de ( 2 : 1 )
Ejemplo.
La ecuación cuadrática y = 2x2 presenta una característica de una función suprayectiva. Es decir:
a) Tabulación b) Diagrama Sagital c) Gráfica
-1 2 +2 y =2x2
0 0
+1
función superyectiva
(2:1)
NOTA: Generalmente las ecuaciones cuadráticas se comportan como funciones superyectivas.
OBSERVACIONES: Las funciones constantes quedan dentro de la clasificación de las funciones superyectivas.
3.- Funciones Biyectivas
Se les llama así porque en la correspondencia o de segundo grado se presentan las características de las dos primeras propiedades simultáneamente, es decir la relación de correspondencia es (1 : 1) y ( n : 1)
Ejemplo.
La ecuación cúbica y = x3 - x, presenta la característica de una función: BIYECTIVA
a) Tabulación b) Diagrama c) Gráfica
-1 0
función biyectiva
(1:1) y (3:1)
B) Clasificación Respecto a sus variables
1.- Funciones Explícitas
Se les llama así a las expresiones algebraicas y trascendentes bien definidas donde la variable dependiente “y”, está claramente despejada.
Ejemplos.
a) y = 4x3 - 2x2 + 6
b) f ( x ) = 3 ( x2 - 1 )
c) g ( r ) = Ln 3r
|
e) y = Sen x
|
2.- Funciones Implícitas
Es cuando la variable dependiente “y” no está claramente despejada de una ecuación algebraica se considera como una función implícita; por lo que es conveniente despejar a la variable dependiente y así poder realizar cualquier análisis respecto a ella.
Ejemplos.
a) 4x + 2y = 8 F. Implícita
y =
b) 3xy - 2y = x - 1 F. Implícita
y =
c) yx3 - yx2 = 2x3 + 4x2 F. Implícita
y =
d) 3x2 - 4y + 1 = x + 3y - 2 F. Implícita
y =
e) 8y - 4x3 + 2x2 = 2x3 - 4x2 + 6y F. Implícita
y = 3x3 - 3x2 F. Explícita
C) Clasificación general respecto a su estructura
1.- Funciones Algebraicas
Son aquellas que están definidas por las expresiones algebraicas que satisfacen las características determinadas por la definición de función.
Ejemplos.
a) y = x4 - 3x2 + 1
b) f ( x ) = 3 ( x2 - 1 )
c) g ( r ) = ( r - 1 ) 2
|
d) h ( t ) =
e) f ( s ) =
|
2.- Funciones Trascendentes
Son aquellas funciones que están determinadas por las expresiones trigonometricas, logarítmicas y exponenciales.
Ejemplos.
a) y = Sen ( 2x )
b) f ( x ) = Cos2 x
c) g ( r ) = 3 Csc2 r
d) h ( x ) = 3 Cos2 x
e) i (ô ) = ( tan ô ) 2
f) j ( r ) = Arc tan (2 r)
|
g) f ( t ) =
h) g ( x ) = ex2
i) h ( r ) = C r 2
j) k ( s ) =
k) l ( t ) = Ln ( t + 2 ) 2
1) y = Ln ( x + 1 )
|
3.- Funciones Compuestas o Mixtas
Son aquellas que se establecen a partir de la combinación de funciones algebraicas y trascendentes.
Ejemplos.
a) y = 2x3 + Ctg2 x
b) f ( x ) = c x2 - Sen 3x
|
c) g ( x ) = Cos x2 * Log 3 2x
d) h ( r ) =
|
RELACIÓN :
Es una correspondencia entre dos conjuntos de tal forma que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno o más elementos del segundo conjunto. Es decir, la relación de correspondencia será ( 1 : n ). Generalmente las relaciones están dadas por ecuaciones algebraicas con radicales.
Ejemplos.
1.- La ecuación y2 = x2 +1 cumple con la definición de relación, es decir, tabulando se tiene la siguiente correspondencia.
2.- La ecuación
Observaciones:
De acuerdo a los análisis de los ejemplos anteriores, se concluye que el concepto de relación es más general que el de función, en otras palabras, las funciones son un subconjunto especial de las relaciones, es decir una ecuación algebraica podrá ser función así estrictamente o simplemente una relación.
Nota: Una relación dada por un radical cuadrático se puede transformar en una función eliminando a uno de los dos signos del radical.
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN PUNTOS DE SU DOMINIO.
Para utilizar propiamente el símbolo o notación f ( x ) = y , se procede a una evaluación directa sobre la ecuación que define a una función en cualquiera de sus puntos del dominio, encontrando así su imagen en el contra dominio; Posteriormente esta operación será muy utilizada para calcular:
-Limites
-Pendientes
-Velocidades
-Aceleraciones
-Máximas y Mínimas Relativos y
-Puntos de Inflexión.
Ejemplos
1) Calcular f ( x ), para x = 2, bajo la ecuación y = 2x2 - x
Solución
f ( 2 ) = 2 ( 2 )2 - ( 2 )
f ( 2 ) = 6
2) Calcular f (-1 ), para y =
f ( -1 ) =
f ( -1 ) = -2
3) Calcular f (11/2 ), para y = 2 Cos x
y = 2 Cos 90º
y = 0
EVALUACIÓN DE UNA FUNCIÓN EN EXPRESIONES ALGEBRÁICAS SIMPLES
Se puede evaluar en una función expresiones algebraicas simples, generalizando de esta forma el concepto de función, es decir se puede establecer correspondencias entre expresiones algebraicas que más adelante serán útiles para resolver problemas complejos.
1) Calcular f ( 2a ), para y = 2x2 - x
f ( 2a ) = 2 (2a )2 - ( 2a )
= 2 ( 4a2 ) - 2a
f ( 2a ) = 2a ( 4a - 1 )
2) Calcular f ( ) , para y =
f ( ) =
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Así como se puede evaluar en una función expresiones simples, también se pueden evaluar funciones bien definidas, de esta forma se establece una operación más entre funciones, esto es muy importante porque se utiliza en niveles más avanzados para resolver problemas complejos; a esta nueva operación se llama composición de funciones y se define de la siguiente manera:
Sea f ( x ) y g ( t ) dos funciones bien definidas donde la operación es la siguiente, la composición de dos funciones es:
( f o g ) ( t ) = f { g ( t ) } que se lee: f compuesta de g en la variable t = g ( t ) evaluada en f ( x ).
1) Calcular ( f o g ) ( t ), para f ( x ) = x2 - 2x y g ( t ) = 1 - 2t
( f o g ) ( t ) = ( 1 - 2t )2 - 2 ( 1 - 2t )
= 1 - 4t - 4t2 - 2 + 4t
( f o g ) ( t ) = 4t2 - 1
2) Calcular (f o g ) ( t ) para f ( x ) = 2x2 - x y g ( t ) = t + 1
(f o g ) ( t ) = 2 ( t + 1 )2 - ( t + 1 )
= 2 ( t2 + 2t + 1 ) - ( t + 1 )
= 2t2 + 4t + 2 - t - 1
(f o g ) ( t ) = 2t2 + 3t + 1
3) Calcular ( f o g ) ( t ) para
DOMINIO DE DEFINICIÓN
Introducción:
Consiste en especificar claramente los valores que se pueden tomar en el dominio de tal forma que exista una imagen real en el contra dominio; Para facilitar este análisis, se hará una clasificación en tres casos, de acuerdo a la estructura de la función.
Recordatorio: Números enteros
Racionales Decimales R. Numérica
REALES Fracciones
COMPLEJOS Irracionales Raíces
Ln., Log 10
Constantes
IMAGINARIOS Raíces Negativas
|
CASO 1
Ejemplo:
1) Obtener el Df si la función es : y = 2x3 - x2 + x – 1
f ( 1 ) = 1
f ( -1) = -5
f ( ½ ) = -½
2) Obtener el Df si la función es :
Conclusión : Los valores asignados reales en el dominio corresponden
CASO 2
Cuando se presenta la función polinomial en forma de cociente, se debe tener cuidado, porque se pueden presentar imágenes no reales de la forma ( ), para evitar esto, se deben eliminar en el dominio aquellos valores que nos conducen a dichas imágenes; La técnica para identificar rápidamente a estos valores, consiste en hacer una evaluación mental en el denominador y observar para que valores se hace cero o resolviendo el denominador como una ecuación, posteriormente se confirma y se determina el dominio de definición.
1) Obtener Df de
f ( -1 ) =
|
x2-1 = 0
x = + 1
Df: ( x ¹ + 1 ) R
Se lee: El Df está dado que para valores de x asignados al dominio diferentes de + 1 corresponderán imágenes reales en el contra dominio
|
2) Obtener Df de
f (-1 ) = -½
f ( -2 ) = 0
|
Df : R R
Se lee: El Df está dado que para valores reales asignados al dominio, corresponderán imágenes reales en el contra dominio.
|
CASO 3
Cuando se plantea una función dado por un radical cuadrático, en este caso se debe tener cuidado porque pueden existir valores en el dominio que conducen a una imagen real o imaginaria ; La técnica para identificar a dichos valores es resolver la desigualdad ( que. presenta el radicando ).
1) Obtener Df: de y = + x2 - y2 = 4 ( hipérbola horizontal )
- 2 2
|
y2 = x2 - 4
x2 - 4 ³ 0
x2 ³ 4
x ³ + 2
Df: ( - 2 ³ x ³ 2 ) R Particularizando
Df: ( - 2 ³ x ³ 2 ) y ³ 0 Generalizando
El Df: Para números reales mayores o iguales a 2 y menores o iguales a -2, corresponderán números reales.
|
2) Obtener Df: de y = +
y2 = 4 - x2
4 - x2 ³ 0
rango es un subconjunto [ - x2 ³ - 4 ] (–1)
particular del C.D. x £ + 2
intervalo
|
Df: ( - 2 £ x £ 2 ) ( 0 £ y £ 2 )
El Df está dado que para valores reales asignados en el dominio mayores o iguales a -2 y menores o igual a 2 corresponderán imágenes reales en el contra dominio en el rango establecido.
|
3) Obtener Df: de y = -
( hipérbola vertical )
Df: R R
Df: R y £ - 2
El Df está dado que para valores reales asignados en el dominio corresponderán imágenes reales en el C.D.
|
4) Obtener Df: de y = +
y2 = x - 6 ( parábola horizontal derecha )
x - 6 ³ 0
x ³ 6
Df: ( x ³ 6 ) R
Df: ( x ³ 6 ) y ³ 0
Para números reales ³ +6 , corresponderán imágenes reales en el contra dominio.
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