CALCULO DIFERENCIAL: UNIDAD II.- CONTINUIDAD Y LÍMITES

Definión.- Se dice que una función es continua, si su gráfica se puede trazar normalmente sin interrupciones por falta de información en el eje “y”, la continuidad o discontinuidad está directamente relacionada al dominio de definición. Así entonces se hace una clasificación de tres casos para analizar la continuidad.

CASO 1

Cuando se tiene una función polinomial normal y esta será continua para todo valor de x en el dominio.

1) Si f ( x ) = x² + 2x + 1 y

a) Tabulación. b) Gráfica

x . x² + 2x +1 y

-2 1 f ( x ) = x² + 2x + 1

-1 0

0 1

1 4

2 9

La función es continua.

x Î R

x Df : R R

CASO 2

Cuando la función polinomial se presenta en forma de cociente y esta puede presentar discontinuidad para algunos valores de “ x ” en el dominio, es decir:

Df : R - { + a } R o Df : x ¹ ( + a ) R

a) Tabulación b) Gráfica

x y

-2 2/3 Función discontinua

-1.5 0.6

-1 ? Df : R - ( + 1 ) R

-0.5 0.3

0 0

0.5 -1

1 µ

2 2 x² - 1 = 0

x² = 1

x = + 1

CASO 3

Cuando la función esta dada por un radical cuadrático y puede presentar discontinuidad para algunos valores de x en el dominio, es decir: Df . x ¹ ( + a ) R

1) Si f ( x ) =

a) Tabulación b ) Gráfica

x y Interrupción

-2 0.7 o

-1 0.57 Fractura.

-0.5 0.44

0 0 Df : ( 0 ³ x > 2 ) R

3 1.73 Df : R - ( 2 ³ x > 0 ) R

4 1.41

LÍMITES

Introducción: La idea matemática de encontrar el límite de una función cuando esta toma valores muy grandes o muy pequeños en el dominio, consiste en determinar una recta “L” paralela al eje x ya sea positiva o negativa, que nos marca hasta donde una función cumple sus propiedades.

+ L

f ( x )

x ® - 0 x ® +

- L

Se supone que existe el límite de una función f ( x ) y que es un número real “ L ”. Para denotar matemáticamente esta existencia, se tienen dos casos:

Caso 1.- Límites a infinito

Lim f ( x ) = L Se lee: el límite de f ( x ) cuando x tiende a + infinito

x ® + será igual al limite de la función ”L”.

Caso 2.- Límites Puntuales

Lim f ( x ) = L

x ® + a

ALGEBRA DE LÍMITES

1) Álgebra de Límites cuando x ® +

Sea f ( x ) y g ( x ) dos funciones bien definidas con sus respectivos límites tales que:

Lim f ( x ) = L₁ y Lim g( x ) = L₂

x ® + x ® +

Así se tiene la siguiente álgebra

1.- Lim f ( x ) + Lim g ( x ) = L₁ + L₂

x ® + x ® +

2.- Lim f ( x ) - Lim g ( x ) = L₁ - L₂

x ® + x ® +

3.- Lim f ( x ) x Lim g ( x ) = L₁ x L₂

x ® + x ® +

4.- Lim f ( x ) / Lim g ( x ) = L₁

x ® + x ® + L₂

2) Álgebra de Límites cuando x ® + a ( es semejante al anterior)

Propiedades para calcular Límites a infinito

a) Calcular el lím

x ® + x = 10 = 0.1

x = 100 = 0.01

- 0 + x = 1000 = 0.001

Tiende a 0 Tiende a 0 x = 1`000,000 = 0.000001

= 0

x ® +

b) Calcular Lim

x ® +

Si n = 2

x = 10 = 0.01

x = 100 = 0.0001

x = 1000 = 0.000001

\ Lim = 0

x ® +

Método para Calcular Límites a Infinito

1) Se multiplica el numerador y el denominador por el factor donde “n” es el mayor de los exponentes de la función planteada.

2) Se realiza la simplificación obteniendo términos de la forma

3) Finalmente aplicando las propiedades y el álgebra a cada término se obtiene el límite deseado.

Ejemplos:

1) Calcular Lim 2x⁴ - 3x²

x ® + x³ - 3x⁴

Solución:

( 2x⁴ - 3x² ) ( 1 ) 2 - 3.

Lim x⁴ = Lim x²

x ® + (x³ - 3x⁴ ) ( 1 ) x ® + 1 - 3

x⁴ x

Lim Lim ( 2 ) - Lim 3

x ® + x ® + x ® + x² = Lim 2 - 0 = -2

Lim ( 1 ) Lim 3 x ® + 0 - 3 3

x ® + x x ® +

b) Tabulación x y

-6 -.605

-5 -.5571

-4 -.5570

-3 -0.5

-2 -0.35

-1 -0.25

0 ?

1 0.5

2 -0.51

3 -0.625

4 -0.659

5 -0.671

6 -0.676

7 -0.6777

10 -0.6793

20 -0.6754

50 -0.6707

100 -0.6687

500 -0.66710

1,000 -0.66688

50,000 -0.66667

1,000,000 -0.6666668

2) Calcular Lim 2x² + 3x³

x ® + 4x - x³

Solución:

1 (2x² + 3x³ ) 2 + 3

Lim x³ = Lim x .

x ® + 1 (4x - x³) x ® + 4 - 1

x³ x²

Lim Lim 2 + Lim 3

x ® + x ® + 8 x x ® + 8 = 0 + 3

Lim 4 - Lim 1 0 - 1

x ® + x² x ® +

Lim = -3

x ® +

b) Tabulación c) Gráfica ( No necesaria )

x y

-1000000 -3.000002

-1000 -3.002

-100 -2.98

-50 -2.96

0 ?

1 1.6

50 -3.044

100 -3.021

1,000 -3.0021

1,000,000 -3.000002

3) Lim x - 2

x ® + 3 x -- x²

Solución:

( x - 2 ) (1) 1 - 2

Lim x² = Lim x x²

x ® + ( 3x - x2 ) (1) x ® + 3 - 1

x² x

Lim 1 - Lim 2

x ® + 8 x x ® + 8 x²= Lim 0 - 0 = Lim = 0

Lim 3 - Lim 1 x ® + 0 - 1 x ® +

x ® + x x ® +

4) Lim Ax³ - Bx²

x ® + Cx - Dx³

Solución:

( Ax³ - Bx² ) ( 1 ) A - B

Lim x³ = Lim x .

x ® + ( Cx - Dx³ ) ( 1 ) x ® + C - D

x³ x²

Lim A - Lim B

Lim x ® + 8 x ® + 8 x = Lim A - 0 = - A

x ® + Lim C - Lim D x ® + 0 - D D

x ® + x² x ® +

5) Lim x ( 1 - 2x³)

x ® + ( x² - 1 ) ²

Solución:

( x - 2x⁴ ) (1) 1 - 2

Lim x⁴ = Lim x³ .

x ® + ( x⁴ - 2x² + 1 ) (1) x ® + 1 - 1 + 1

x⁴ x² x⁴

Lim 1 - Lim 2

Lim x ® + 8 x³ x ® + 8 = Lim 0 - 2 = Lim (-2) = -2

x ® + Lim 1 - Lim 1 + Lim 1 x ® + 1 - 0 + 0 x ® +

x ® + x ® + x² x ® + x⁴

6) Lim

x ® +

Solución:

Lim = = Lim = Lim =

x ® + x ® + x ® +

Lim = = Lim = Lim

x ® + x ® + x ® +

7) Lim ( 2x + 1 ) ( 3x + 1 ) = 6x² - 5x + 1

x ® + ( 2x - 2 ) ( 3x + 2 ) 6x² - 2x - 4

Solución:

( 6x² - 5x + 1 ) (1) 6 5 + 1

Lim x² = Lim - x x²

x ® + ( 6x² - 2x - 4 ) (1) x ® + 6 - 2 - 4

x² x x²

Lim 6 - Lim 5 + Lim 1

Lim x ® + 8 x ® + 8 x x ® + 8 x² = Lim 6 - 0 + 0 = 1

x ® + Lim 6 - Lim 2 - Lim 4 x ® + 6 - 0 - 0

x ® + x ® + x x ® + x²

8) Lim x² + x + 2

x ® + 4x³ - 1

Solución:

( x² + x + 2 ) ( 1 ) 1 + 1 + 2

Lim x³ = Lim x x² x³

x ® + ( 4x³ - 1 ) ( 1 ) x ® + 4 - 1

x³ x³

Lim 0 + 0 + 0 = 0

x ® + 4 - 0

9) Lim 2x³ .

x ® + x² + 1

Solución:

( 2x³ ) ( 1 )

Lim x³ = Lim 2 .

x ® + (x² + 1 ) ( 1 ) x ® + 1 + 1

x³ x x³

Lim 2

Lim x ® +8 = Lim 2 = ( No existe límite )

x ® + Lim 1 + Lim 1 x ® + 0

x ® + x x ® + x³

10) Lim

x ® +

MÉTODO PARA CALCULAR LOS LÍMITES PUNTUALES

El límite de una función cuando x ® + a es la imagen de este valor en la función, es decir

Lim ƒ( x ) = ƒ( + a )

x ® + a

El único límite no permitido es la operación 0 / 0, para evitar dicho resultado se recomienda transformar a la función original aplicando: una factorización, una división de polinomios, una multiplicación de binomios conjugados o una racionalización del denominador, de acuerdo a la estructura de cada función.

Ejemplos:

1) Calcular el Lim 2x² + 3

x ® 2 x - 1

Lim 2 ( 2 )² + 3 = 11 ® Imagen

x ® 2 2 - 1

2) Calcular el Lim 2t² + t

t® -1 t - 2

Lim 2 ( -1 )² - 1 =

t ® -1 -1 - 2

3) Calcular el Lim 2r - r²

r ® - 1 ( r - 1 )²

Lim =

r ® -1

4) Calcular Lim x² - 9

x ® - 3 x + 3

Lim ( x + 3 ) ( x - 3 ) = - 6

x ® - 3 ( x + 3 )

5) Calcular Lim x - a

x ® a x² - a²

Lim ( x - a ) . = 1

x ® a ( x - a ) ( x + a ) 2a

6 ) Calcular Lim

x®1

( a - b ) ( a + b )

Lim

x®1

Lim =

x®1

7) Calcular Lim

x®25

Lim =

x®25

Lim 1 = 1

x®25 5 + 5 10

8) Calcular Lim

x®4

Lim =

x®4

Lim 2 + 2 = 4

x®4

9) Calcular Lim x² + 2x + 7

x®1 x² + 1

Lim

x®1

10) Calcular Lim x² + 3x - 10 = (x + 5) (x - 2 ) = 1

x® 2 3x² - 5x - 2 (3x + 1) (x - 2 )

11) Calcular Lim 4x³ - 2x² + x

x® 0 3x³ + 2x

Lim x ( 4x² - 2x + 1 )

x® 0 x ( 3x² + 1 )

Lim 4 ( 0 ) - 2 ( 0 ) + 1 = 1

x® 0 3 ( 0 ) + 2 2

12) Calcular Lim

x® 2

Lim = = = =

x® 2

13) Calcular Lim x³ - 3x² + 2x = x (x² -3x + 2 )

x® 2 x² + x - 6 x² + x - 6

Lim x (x -1 ) (x - 2 ) = 2

x® 2 (x + 3 ) (x - 2 ) 5

14) Calcular Lim 3x² -17x + 20 = (3x - 5 ) (x - 4) = 1

x® 4 4x² - 25x + 36 (4x - 9) (x - 4)

15) Calcular Lim 4x³-6x² -5x + 2 = (x - 2)(4x²+2x - 1) = 19

x® 2 x - 2 (x - 2)

16) Calcular Lim x³- x² - 5x - 3 = (x +1)(x + 1)(x - 3) = 4

x® 3 x² - 2x - 3 (x + 1)(x - 3)

17) Calcular Lim

x® - 3

18 ) Calcular Lim

x® 3

19) Calcular Lim

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