UNIDAD II.- CONTINUIDAD Y LÍMITES

Definión.- Se dice que una función es continua, si su gráfica se puede trazar normalmente  sin interrupciones por falta de información  en el eje “y”, la continuidad o discontinuidad está directamente relacionada  al dominio de definición. Así entonces se hace una clasificación  de tres casos para analizar la continuidad.

CASO 1
Cuando se tiene una función polinomial normal y esta será continua para todo valor  de x en el dominio.          

1) Si   f ( x ) = x2 + 2x + 1                                             y

a) Tabulación.                                    b) Gráfica
 x . x2 + 2x +1  y
 -2                     1                                                                f ( x ) = x2 + 2x + 1
 -1                     0
  0                      1
  1                      4
  2                      9                                                                                            
                                                                                                                        La función es continua.
                                                                                                                                     x Π R
                                                                                                                  x          Df :  R           R

CASO 2
Cuando la función polinomial se presenta en forma de cociente y esta puede presentar discontinuidad  para algunos valores de  “ x ”  en el dominio, es decir:

                        Df :  R - {  + a }           R          o              Df :  x ¹ ( + a )           R

1)               

a) Tabulación                                              b) Gráfica
  x      y
 -2                  2/3                                                                                                  Función discontinua
-1.5                0.6
 -1                  ?                                                                                                    Df : R - ( + 1 )          R
 -0.5               0.3 
0                     0
  0.5                 -1
  1                    µ
  2                    2            x2 - 1 = 0
        x2 = 1
                                                        x = + 1



CASO 3

            Cuando la función esta dada por un radical  cuadrático y puede presentar discontinuidad para algunos valores  de x en el dominio, es decir:  Df .  x ¹ ( + a )            R

1) Si  f ( x ) =
a) Tabulación                          b ) Gráfica
 x      y                                                                                                     Interrupción
-2               0.7                                                                                               o
-1               0.57                                                                                                    Fractura.
-0.5           0.44
 0                0                                                                                                Df :   ( 0 ³ x > 2 )            R
 1                
 2                                                               
 3               1.73                                                                                             Df : R - ( 2 ³ x > 0 )            R
 4               1.41





LÍMITES

            Introducción: La idea matemática de encontrar el límite de una función cuando esta toma valores muy grandes o muy pequeños en el dominio, consiste en determinar una recta  “L” paralela al eje x  ya sea positiva o negativa, que nos marca hasta donde  una función cumple sus propiedades.


                        + L
                                                                                                                                
                                                                                                                      f ( x )




                                                                                                                                                        
               x ® -                                                                          0                                                     x ® +                   






                        -  L


Se supone que existe el límite de una función f ( x ) y que es un número real “ L ”. Para denotar matemáticamente esta existencia, se tienen dos casos:

Caso 1.- Límites  a infinito
            Lim    f ( x ) = L                                 Se lee:  el límite de f ( x ) cuando x tiende a  +  infinito
x ® +                                                    será igual al limite de la función ”L”.

Caso 2.- Límites Puntuales
            Lim    f ( x ) = L
            x ® +  a

ALGEBRA DE LÍMITES

1) Álgebra de Límites cuando x ® +   
            Sea f ( x ) y  g ( x ) dos funciones bien definidas con sus respectivos límites  tales que:

            Lim   f ( x ) = L1         y          Lim   g( x ) = L2
             x ® +                                  x ® + 

Así se tiene la siguiente álgebra

            1.- Lim f ( x )  +         Lim g ( x )       =          L1 + L2
                x ® +                     x ® + 

            2.- Lim f ( x )   -         Lim g ( x )       =          L1 - L2
                 x ® +                    x ® + 

            3.- Lim f ( x )   x        Lim g ( x )       =          L1 x L2
                 x ® +                    x ® +

            4.- Lim f ( x )   /         Lim g ( x )       =          L1
                x ® +                    x ® +                       L2

2) Álgebra de Límites cuando  x ® +  a   ( es semejante al anterior)



                                   Propiedades para calcular Límites a infinito


a) Calcular el   lím   
                       x ® +                                                    x = 10                                         = 0.1                 
                                                                       x = 100                                    = 0.01                           
-                              0                                      +         x = 1000                                 = 0.001
       Tiende a  0                     Tiende a  0                  x = 1`000,000                 = 0.000001                   
           
             = 0
                                                                          x ® + 
b) Calcular      Lim    
                       x ® +           

Si n = 2
            x = 10                                     =  0.01                 
            x = 100                                               =  0.0001                              
            x = 1000                                 =  0.000001                              
\  Lim    = 0
                                                                                                                           x ® + 

Método  para  Calcular  Límites  a  Infinito

1) Se multiplica el numerador  y el denominador por el factor  donde  “n” es el mayor de los exponentes de la función planteada.
2) Se realiza la simplificación obteniendo términos de la forma                                           
3) Finalmente aplicando las propiedades  y el álgebra a cada término se obtiene el límite deseado.

Ejemplos:

1) Calcular           Lim           2x4 - 3x2
                             x ® +       x3 - 3x4
Solución:
               
                               ( 2x4 - 3x2 )  ( 1 )                                       2    -    3.
Lim                                                x4       =      Lim                             x2
x ® +                               (x3 - 3x4 )  ( 1 )                 x ® +           1    -    3
                                                      x4                                          x

Lim                        Lim         ( 2 )  - Lim         3
x ® +                                x ® +             x ® +  x2      =   Lim             2   -   0     = -2 
                               Lim        ( 1 )        Lim        3          x ® +      0   -   3         3
                             x ® +        x      x ® +


b) Tabulación                                                             x                             y                        
                  -6                          -.605
                   -5                         -.5571
                   -4                         -.5570
                -3                            -0.5
                      -2                           -0.35 
                 -1                           -0.25
                 0                            ?
                 1                            0.5
                 2                            -0.51
                   3                          -0.625
                   4                          -0.659
                   5                          -0.671
                   6                          -0.676
                    7                         -0.6777
                   10                        -0.6793
                   20                        -0.6754
                   50                        -0.6707
                  100                       -0.6687
                   500                      -0.66710
                  1,000                    -0.66688
                 50,000                   -0.66667
                  1,000,000                 -0.6666668


2) Calcular      Lim           2x2 + 3x3 
                        x ® +        4x  -  x3

Solución:

                        1     (2x2 +  3x3 )                     2     +    3
Lim                 x3                         =    Lim        x             .
x ® +             1     (4x  -  x3 )            x ® +   4     -     1
                        x3                                            x2

Lim              Lim        2      +      Lim       3
x ® +        x ® + 8       x              x ® + 8           =     0 +  3
                    Lim         4      -      Lim       1            0  -  1
                   x ® +       x2          x ® +
           
Lim        =   -3
x ® +


b) Tabulación                                                 c) Gráfica        ( No necesaria )

           
                          x                                   y


                     -1000000                              -3.000002
                     -1000                                    -3.002
                     -100                                      -2.98
                     -50                                       -2.96
                       0                                          ?
                      1                                           1.6
                     50                                         -3.044
                    100                                        -3.021
                    1,000                                     -3.0021
                   1,000,000                               -3.000002




3)       Lim           x  -  2   
          x ® +                3 x -- x2

Solución:

                    ( x  -  2 )  (1)                        1    -    2
Lim                                x2       =   Lim      x         x2
x ® +         ( 3x -  x2 ) (1)            x ® +   3    -    1
                                    x2                        x  
     

Lim          1    -  Lim    2
x ® + 8       x       x ® + 8   x2    =   Lim        0   -   0  =    Lim        =   0
Lim          3    -  Lim    1        x ® +    0   -   1                x ® +      
x ® +     x       x ® +


4)  Lim                        Ax3   -   Bx2 
    x ® +         Cx   -    Dx3

Solución:

              ( Ax3 -  Bx2 ) ( 1 )                     A   -    B
Lim                                 x3      =  Lim                  x .   
x ® +     ( Cx  -  Dx3 )           ( 1 )        x ® +  C   -    D
                                      x3                      x2

              Lim        A     -    Lim     B
Lim        x ® + 8                 x ® + 8   x    =         Lim       A   -   0   =  -  A
x ® +   Lim       C      -  Lim      D     x ® +    0   -   D         D
              x ® +    x2      x ® +




5)   Lim      x ( 1 - 2x3) 
    x ® +    ( x2  - 1 ) 2

Solución:

                   ( x - 2x4 )  (1)                     1    -   2
Lim                              x4    =  Lim        x3                    .
x ® +    ( x4  - 2x2 + 1 ) (1)    x ® +      1   -   1   +   1
                                     x4                             x2        x4

                Lim       1    -    Lim       2
Lim          x ® + 8    x3        x ® + 8                                  =    Lim         0   -   2     =    Lim   (-2)  =  -2           
x ® +     Lim      1     -    Lim        1    +    Lim         1          x ® +    1 -  0 + 0        x ® +
                x ® +              x ® +   x2        x ® +   x4



6)    Lim       
       x ® +     

Solución:
Lim          =  =   Lim     =  Lim      = 
x ® +                                                                 x ® +                                              x ® +

Lim          =     =        Lim        =      Lim         
x ® +                                                                               x ® +                                                                  x ® +




7)   Lim           ( 2x + 1 ) ( 3x + 1 )   =    6x2  -  5x  +  1  
     x ® +        ( 2x - 2 ) ( 3x + 2 )        6x2  -  2x  -  4

Solución:

              ( 6x2  -  5x  + 1 ) (1)                 6       5 +      1
Lim                                   x2     =    Lim                 -  x        x2
x ® +   ( 6x2  -  2x  -  4 ) (1)       x ® +   6  -  2   -      4
                                       x2                           x          x2

              Lim    6    -     Lim      5     +    Lim        1
Lim       x ® + 8                    x ® + 8   x            x ® + 8    x2   =   Lim          6   -  0  +  0   =   1
x ® +   Lim    6    -     Lim      2     -    Lim         4           x ® +     6   -  0   -  0
             x ® +               x ® +   x          x ® +    x2



8)  Lim                      x2  +  x  + 2
     x ® +        4x3  -   1

Solución:
           
            ( x2  +  x  +  2 ) ( 1 )                            1  +   1  +   2
Lim                                 x3        =   Lim                      x       x2      x3 
x ® +    ( 4x3   -  1  ) ( 1 )         x ® +             4    -    1      
                                   x3                                                           x3
Lim         0  +  0  +  0   =    0
x ® +       4   -   0


9)  Lim                2x3   .   
     x ® +        x2  +  1

Solución:

              ( 2x3  ) ( 1  )
Lim                     x3         =   Lim              2     .
x ® +     (x2 + 1 ) (  1 )                  x ® +      1   +   1
                             x3                           x        x3

                        Lim           2
Lim                  x ® +8                        =   Lim         2   =       ( No existe  límite )
x ® +   Lim       1   +   Lim         1      x ® +    0
             x ® +    x        x ® +   x3




10)  Lim         
       x ® +      
                       

MÉTODO  PARA  CALCULAR  LOS  LÍMITES  PUNTUALES

El límite de una función cuando  x ® +  a   es  la imagen de este valor en la función,  es  decir
Lim        ƒ( x )  =  ƒ( + a )
x ® +  a
           
El único límite no permitido es la operación  0 / 0,  para evitar dicho resultado se recomienda  transformar a la función original  aplicando: una factorización, una división de polinomios, una multiplicación de binomios conjugados o una racionalización del denominador, de acuerdo a la estructura de cada función.

Ejemplos:

1)   Calcular   el          Lim         2x2 + 3
                                   x ® 2          x - 1

                                   Lim           2 ( 2 ) 2 + 3   =   11   ® Imagen
                                   x ® 2              2   -   1


2)   Calcular  el           Lim        2t2   +  t
                                   t® -1         t  -  2

                                   Lim           2 ( -1 )2  -  1   =
                                   t ® -1            -1  -  2                   


3)   Calcular  el           Lim          2r   -   r2
                                   r ® - 1      ( r - 1 )2
                                            2
                                   Lim       = 
                                   r ® -1             
                                            2


4)   Calcular                Lim        x2  -  9
                                   x ® - 3     x  +  3


                                   Lim     ( x + 3 )  ( x  -  3 )   =  - 6
                                   x ® - 3      ( x  +  3 )   
                                              


5)   Calcular                Lim      x   -   a
                                   x ® a     x2  -  a2
                                  
                                   Lim              ( x  -  a ) .        =   1
                                   x ® a      ( x - a ) ( x  +  a )       2a

6 )   Calcular               Lim                  
x®1    
                                           ( a - b )   ( a + b )
                                               Lim        
                                   x®1
             
                                   Lim      =
                                   x®1    

                                  
7)   Calcular                Lim                    
                                   x®25       
           
                                   Lim      =
                                   x®25
                                              
                                   Lim          1       =   1                 
                                   x®25     5  + 5       10

8)   Calcular                Lim                  
                                   x®4                
                                   Lim     =
                                   x®4    

                                  
                                   Lim       2 + 2 =  4
                        x®4          



9)   Calcular                Lim        x2  +  2x  +  7
                                   x®1            x2   +   1

                                   Lim    
                                   x®1      


10) Calcular                Lim     x2 + 3x - 10  =     (x  + 5) (x  - 2 )  =  1
                                   x® 2    3x2 - 5x - 2          (3x + 1) (x  - 2 )



11)   Calcular              Lim     4x3  -  2x2  +  x
                                   x® 0         3x3  +  2x
                                  
                                   Lim     x ( 4x2 - 2x + 1 )
                                   x® 0        x ( 3x2  +  1 )

                                   Lim     4 ( 0 )  -  2 ( 0 ) + 1  =  1
                                   x® 0         3 ( 0 )  +  2               2


12)  Calcular              Lim 
                                   x® 2      

                                   Lim     =  =  = =  
                                   x® 2   


13) Calcular                Lim     x3 - 3x2 + 2x  =   x (x2  -3x + 2 )
                                   x® 2      x2 + x - 6               x2 + x - 6

                                   Lim     x (x  -1 ) (x  - 2 )  =  2
                                   x® 2    (x  + 3 ) (x  - 2 )      5



14) Calcular                Lim     3x2 -17x + 20  =  (3x  - 5 ) (x  - 4)   =  1
                                   x® 4    4x2 - 25x + 36       (4x - 9) (x  - 4)

               
15) Calcular                Lim     4x3-6x2 -5x + 2  =  (x - 2)(4x2+2x - 1)  =  19
                                   x® 2              x - 2                       (x - 2)



16) Calcular                Lim     x3- x2 - 5x - 3  =  (x +1)(x + 1)(x - 3)  =  4
                                   x® 3       x2 - 2x - 3               (x + 1)(x - 3)


17) Calcular                Lim    
                                   x® - 3 

18 ) Calcular               Lim    
                                   x®  3

19) Calcular                Lim    

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