A) Incrementos.- La finalidad de los incrementos es ver el momento en que la recta secante se convierte en tangente, cuando el D x®0 , a la derecha o a la izquierda.
Análisis Gráfico: y
RECTA SECANTE
y2 = f ( x1 )
1.- Dx = x2 - x1
RECTA TANGENTE
2.- Dy = y2 - y1 = f ( x2 ) - f ( x1 ) Dy
y1 = f ( x2 ) q q1
D x®0 x
Ejemplos:
1.- Dada la función y = x2 + 1, si la variable x, se incrementa de x1 = 1 a x2 = 3
Solución:
1.- Dx = x2 - x1
= 3 - 1 = 2 u
2.- Dy = y2 - y1
Dy = f ( x2 ) - f ( x1 )
[ ( 3 ) 2 + 1 ] - [ ( 1 )2 + 1 ] = 8 u
RECTA SECANTE :
3.- m = Tg q
q = Arc tg ( 4 ) = 75º 57’49”
|
4.- ( y2 - y1 ) = m ( x2 - x1 ) P ( 1,2 )
y - 2 = m ( x - 1 )
y = mx - m + 2 -------- Ec 1
y = x2 + 1 -------- Ec 2
( MET. DE IGUALACION )
mx - m + 2 = x2 + 1
x2 + 1 - mx + m - 2 = 0
x2 - mx + ( m - 1 ) = 0
A = 1 B = -m C = m - 1
b2 - 4ac = 0
m2 - 4m + 4 = 0 Þ ( m - 2 ) 2 \ m = 2
RECTA TANGENTE
5.- m1 = Tg q1 2AOP) dx ( v n ) = n v n - 1
q1 = Arc Tg ( 2 ) dx ( x 2 ) = 2x
q1 = 63º 26`6” = 2(1)
\ m = 2
|
a) Tabulación b) Gráfica y RECTA SECANTE
RECTA tangente
f (x) = x2+1 Dy
-2 5
-1 2
0 1
1 2 q q1
2 5
0 D x®0 x
2.-Dada la función f (x) = x3 + x , si la variable x se incrementa de x1 = -1 a x2 = 2
1.- Dx = x2 - x1
= 2 + 1 = 3 u
2.- Dy = y2 - y1
Dy = f ( x2 ) - f ( x1 )
= 12 u
RECTA SECANTE :
3.- m = Tg q m = Dy = 12 = 4
Dx 3
q = Arc tg ( 4 ) = 75º 57’49”
|
RECTA TANGENTE
4.- d ( v n ) = n v n - 1
d ( x 3 + x ) = 3x2+1
En el P (0,0) \ m = 1
q = 45º
P (1,2) \ m = 4
q = 75º 57’49”
P (2,10) \ m = 13
q = 85º 36’5”
|
a) Tabulación
x y = x3 + x y
-2 -10
-1 -2
-½ -0.625
0 0
½ 0.625
1 2
2 10
|
B) Análisis geométrico:
f(x)
y2
Dy Lím
Dx
x1 x2
Geométricamente la derivada de una función es la pendiente de una recta tangente en cualquier punto de su gráfica.
B) Regla de los cuatro pasos
Análisis gráfico:
y2 = f (x1+h) f (x) Dx ® 0 Dx ® 0
Dy
Lím f ( x1+ h ) - f ( x1 )
y1 = f (x1) h® 0 h
Dx = h Generalizando:
x1 x2 = x1 + h
f ’(x) = Lím f ( x1+ h ) - f ( x1 )
h ® 0 h
La regla de los cuatro pasos.- Es el método original para calcular la derivada de una función, se le llama así porque se recomienda calcular el límite del modelo en cuatro pasos; que son los siguientes:
1.-Se realiza la evaluación f ( x + h )
2.-Se efectúa la operación f ( x + h ) - f ( x )
3.-Se realiza la división f ( x + h ) - f ( x )
h
4.-Se calcula f’ (x) = Lim f ( x + h ) - f ( x )
h ® 0 h
Ejemplos:
Calcular la derivada de las función siguientes
1.- f ( x ) = 2x + 1
1.- f ( x + h ) = 2 ( x + h ) + 1
2.- f ( x + h ) - f ( x ) = 2x + 2h + 1 - 2x - 1
= 2h
3.- f ( x + h ) - f ( x ) = 2h = 2
h h
4.- Lim f ( x + h ) - f ( x ) = Lim ( 2 ) = f ’ ( x ) = 2
h ® 0 h h ® 0
2.- f ( x ) = 2x2
= 2 ( x + h ) 2
= 2 ( x2 + 2xh + h2 )
= ( 2x2 + 4xh + 2h2 ) - ( 2x2 )
= 4xh + 2h2
h h ® 0
3.- f ( x ) = 1 - x \ f ’ ( x ) = -1
4.- f ( x ) = 3x - x2 \ f ’ ( x ) = 3 - 2x
5.- f ( x ) = 3x2 - 2x + 3 \ f ’ ( x ) = 6x - 2
6.-
1.- = 1
(x + h )
2.- = 1 - 1 = x - ( x + h ) = -h__
(x + h ) x x2 + hx x2 + hx
3.- = -h = -1 .
h( x2 + hx) x2 + hx
4.- = -1
x2 + (0)x
7.-
8.-
9.-
1.- =
2.- =
3.- =
4.- = Lim
h ® 0
10.-
11.-
12.-
13.-
14.-
15.-
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